等同于一般数列极限定义

级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛的必要条件

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\alpha }_n=0$$

注:级数的部分和有界并不代表该级数收敛:比如级数震荡之类的.

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$收敛的充分必要条件是:
对任意的$\epsilon >0$, 存在自然数$N(\epsilon )$, 使当$n>N(\epsilon )$且$p$为任意自然数时, 有 $$| z_{n+1} + z_{n+2} + \cdots + z_{n+p} | < \varepsilon.$$

若$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\alpha }_n|$收敛，则称$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n$绝对收敛。

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n$绝对收敛 $⟺$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$均绝对收敛．
绝对收敛性质:

1. 绝对收敛级数各项的次序可以重排, 其和不变
2. 如$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\alpha }_n|$收敛，则$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n$也收敛，且有$\left|\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n\right|\le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\alpha }_n|$．

1. 比值判别法 设$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$是正项级数，若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$（$\rho$为实数或$+\mathrm{\infty }$） 则$\rho <1$时级数收敛；$\rho >1$时级数发散；$\rho =1$时失效。
2. 根值判别法 设$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_n$是正项级数，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{u_n}=\rho$ 则$\rho <1$时级数收敛；$\rho >1$时级数发散；$\rho =1$时失效。
3. 莱布尼茨定理：
   如果交错级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}{u}_n$满足条件：
   (1) $u_n\ge u_{n+1}(n=1,2,3,\cdots )$；
   (2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$
   则级数收敛，且和$0\le s\le u_1$，其余项$r_n$的绝对值 $|r_n|\le u_{n+1}$。

形如 $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - a)^n = c_0 + c_1 (z - a) + c_2 (z - a)^2 + \cdots + c_n (z - a)^n + \cdots$$ 的级数称为幂级数
可以做变量替换: $z-a\to z$, 故通常只需要考虑如下简单形式: $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n = c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \cdots + c_n z^n + \cdots.$$

1. 若级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$在$z=z_0(\ne 0)$收敛，则对满足$|z|<|z_0|$的$z$，级数必绝对收敛。
2. 若在$z=z_0$发散，则对满足$|z|>|z_0|$的$z$，级数必发散。

揭示的幂级数性质:
由阿贝尔定理，必然存在$R\ge 0$，满足$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$

1. 在$|z|=R$内绝对收敛，在其外部发散
   在圆周上可能收敛，也可能发散。
   $R$称为该幂级数的收敛半径，而$|z|=R$称为收敛圆周。
2. 当$R=0$，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$仅在$z=0$处收敛。
   当$R=\mathrm{\infty }$，$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$在整个复平面收敛。

比值法:
对于$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$，如果$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lambda \ne 0$， 那么幂级数$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$收敛半径$R=\frac{1}{\lambda }$． 说明: 如果$\lambda =\{\begin{array}{ll}0& ⟶R=\mathrm{\infty }\\ \mathrm{\infty }& ⟶R=0\end{array}$

定理(Abel判别法) 若$\{a_n\}$为单调有界数列，且级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。
定理(Dirichlet判别法) 若$\{a_n\}$为单调递减数列，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$，又级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$的部分和数列有界，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。

幂级数的有理运算 设 $f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n,g(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{z}^n$，其收敛半径分别为$r_1,r_2$. 令$R=min(r_1,r_2)$, 则在$|z|<R$范围内, 有 $$f(z) \pm g(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n \pm \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n z^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n) z^n,$$ $$\begin{align*} f(z) \cdot g(z) &= \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n \right) \cdot \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_n z^n \right) \quad \text{（数列}a_n\text{和}b_n\text{的柯西乘积）} \ &= \sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_n b_0 + a_{n-1} b_1 + \cdots + a_0 b_n) z^n. \end{align*}$$

设$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$的收敛半径为$R$，则

1. $f(z)$在收敛圆：$|z-a|<R$内连续，且解析。
2. $f(z)$在收敛圆内的导数可由幂级数逐项求导得到： $$f'(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} n C_n (z - a)^{n-1}$$
3. $f(z)$在收敛圆内可以逐项积分，即 $$\int_C f(z) dz = \sum\limits_{n=0}^{\infty} C_n \int_C (z - a)^n dz. \quad (C\text{在收敛圆内})$$

若 $f(z)$ 在圆盘$K:|z-z_0|<R$内解析，那么$f(z)$在$K$内具有幂级数展式： $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z - z_0)^n.$$ 其中$c_n=\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(z_0),n=0,1,2,\cdots ,$且展式是唯一的。 这个级数称为泰勒级数，系数称为泰勒系数 $z_0=0$时，该级数又称为马克劳林级数

定理: $f(z)$在区域$D$内解析 $⟺$ $\mathrm{\forall }{z}_0\in D$, $f(z)$在$z_0$的邻域内可展成$z-z_0$的泰勒级数.

幂级数的和函数在收敛圆上至少有一个奇点 (不解析点)。
推论：设$f(z)$在点$z_0$解析，$z_1$是$f(z)$的奇点中距$z_0$最近的一个奇点，则$R=|z_1-z_0|$即为$f(z)$在点$z_0$的邻域内的幂级数展开式$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$的收敛半径。

由泰勒展开定理计算系数 $$c_n = \frac{1}{n!} f^{(n)}(z_0),\ n = 0,1,2,\cdots$$ 将函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 展开成幂级数．

借助于一些已知函数的展开式，结合解析函数的性质，幂级数运算性质(逐项求导,积分等)和其它数学技巧(代换等)，求函数的泰勒展开式.

利用间接法，可得$\sin z$与$\cos z$在$z=0$的泰勒展开式． $$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \cdots + (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots,\ (R = \infty)$$ $$\cos z = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \cdots + (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} + \cdots,\ (R = \infty)$$

$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots +\frac{z^n}{n!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!},(|z|<\mathrm{\infty })$$$$\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\cdots +z^n+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^n,(|z|<1)$$$$\frac{1}{1+z}=1-z+z^2-\cdots +(-1{)}^n{z}^n+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^n,(|z|<1)$$$$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots ,(|z|<\mathrm{\infty })$$$$\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}+\cdots ,(|z|<\mathrm{\infty })$$$$\ln (1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots +(-1{)}^n\frac{z^{n+1}}{n+1}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{z^{n+1}}{n+1}(|z|<1)$$$$(1+z{)}^{\alpha }=1+\alpha z+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{z}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{z}^3+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{z}^n+\cdots ,(|z|<1)$$

若函数$f(z)$在解析区域$D$内一点$z_0$处的值为0，则称$z_0$为解析函数$f(z)$的零点．
由泰勒展开定理：

定理4.11 设解析函数 $f(z)$ 不恒为零，则 $f(z)$ 以 $z_0$ 为 $\boxed{{\displaystyle m}}$ 阶零点 $\boxed{{\displaystyle ⟺}}f(z)=(z-z_0{)}^m\phi (z)$ 其中 $\phi (z)$ 在 $|z-z_0|<R$ 内解析，且 $\phi (z_0)\ne 0$.

定理4.12(零点的孤立性)
设$f(z)$在圆域$|z-z_0|<R$内解析，且不恒为零，$f(z_0)=0$，
则存在$z_0$的一个邻域$C_r$，在$C_r$中$f(z)$只有一个零点$z_0$．

定理4.13 设$f(z)$在$|z-z_0|<R$内解析，点列$\{z_n\}$收敛于$z_0$，且$f(z_n)=0,n=1,2,3,\cdots$，则在$|z-z_0|<R$内，$f(z)\equiv 0$.

定理4.14 函数$f(z)$及$g(z)$在区域$D$内解析，$z_0$为$D$内一点，若$D$内有点列$\{z_n\}$收敛于$z_0$（$z_n\ne z_0$）满足$f(z_n)=g(z_n)$，则在$D$内$f(z)=g(z)$．

推论4.2 设解析函数$f(z)$及$g(z)$在某个子区域或者某段弧上相等，则$f(z)=g(z)$^[1]

实函数在复平面上的解析延拓是唯一的，如$\sin x$的解析延拓必然是$\sin z$．

一切在实轴上成立的恒等式在复平面也成立，只要恒等式的两边解析．

定理4.15（最大模原理）：设函数$f(z)$在$D$解析，并且$|f(z)|$在$D$的内部取得最大值，则$f(z)$在$D$内恒为常数。^[2]

推论4.3：设函数 f(z) 在有界区域 D 解析，并且在D的边界C 上连续，若 f(z)不为常数，则 f(z) 在并且只在边界 C 上取得最大模。

若对某点$z$，级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{-n}(z-z_0{)}^{-n}$与$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$分别收敛于$f_1(z)$与$f_2(z)$，则称级数$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{n=\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$在点$z$收敛，记其和为$f_1(z)+f_2(z)$． $$\sum\limits_{n=-\infty}^{n=\infty} c_n (z - z_0)^n$$称为洛朗级数 负幂部分称为主要部分，正幂部分称为解析部分

若
(1) $R_1>R_2$：两收敛域无公共部分，
(2) $R_1<R_2$：两收敛域有公共部分$R_1<|z-z_0|<R_2$．
结论：双边幂级数 $\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-z_0{)}^n$的收敛区域为 收敛圆环：$R_1<|z-z_0|<R_2$．

洛朗级数在其收敛圆环$R_1<|z-z_0|<R_2$（$0\le R_1<R_2\le +\mathrm{\infty }$）内的和函数是一个解析函数，可以逐项积分和逐项求导。

设$f(z)$在圆环域$R_1<|z-z_0|<R_2$内处处解析，则 $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \tag{1}$$ 其中$c_n=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(\xi )}{(\xi -z_0{)}^{n+1}}d\xi$，$n\in \mathbb{Z}$，且展式唯一。 其中$C$为圆环域内绕$z_0$的任一条正向简单闭曲线。 (1)式称为$f(z)$在$z_0$的Laurent展式，$c_n$称为Laurent系数，(1)式右边的级数称为Laurent级数。泰勒展式是洛朗展式的特殊情形。
Cn详见

定义 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，但 $f(z)$ 在 $z_0$ 的某一去心邻域 $0<|z-z_0|<\delta$ 内处处解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点。
$z=0$ 是函数 $e^{\frac{1}{z}}$, $\frac{\sin z}{z}$ 的孤立奇点。
注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点。

1. 可去奇点
   定义:如果洛朗级数中不含 $z-z_0$ 的负幂项，那么孤立奇点 $z_0$ 称为 $f(z)$ 的可去奇点。

设 $z_0$ 是 $f(z)$ 的孤立奇点，则下列条件等价：

1. $f(z)$ 在 $z_0$ 的洛朗展式的主要部分为 $0$。
2. $\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=c_0(\ne \mathrm{\infty })$
3. $f(z)$ 在 $z_0$ 的某个去心邻域内有界。

定义:
如果洛朗级数中只有有限多个 $z-z_0$ 的负幂项，其中关于 $(z-z_0{)}^{-1}$ 的最高幂为 $(z-z_0{)}^{-m}$，即$$f(z) = c_{-m}(z - z_0)^{-m} + \dots + c_{-2}(z - z_0)^{-2} + c_{-1}(z - z_0)^{-1} + c_0 + c_1(z - z_0) + \dots$$$$(m \ge 1, c_{-m} \neq 0)$$那么孤立奇点 $z_0$ 称为函数 $f(z)$ 的 $\mathbf{m}$ 阶极点。

定理： 设函数 $f(z)$ 在 $0<|z-z_0|<R$ ($0<R\le +\mathrm{\infty }$) 内解析，则 $z_0$ 是 $f(z)$ 的极点的充要条件是：$$\lim_{z \to z_0} f(z) = \infty$$推论： 设函数 $f(z)$ 在 $0<|z-z_0|<R$ ($0<R\le +\mathrm{\infty }$) 内解析，则 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点的充要条件是：$$\lim_{z \to z_0} (z - z_0)^m f(z) = c_{-m}$$其中 $m$ 是一个正整数，且 $c_{-m}$ 是非零复数。

极点的判定方法
(1) 由定义判别$f(z)$ 的洛朗展开式中含有 $z-z_0$ 的负幂项为有限项。

(2) 由定义的等价形式判别在点 $z_0$ 的某个去心邻域内 $f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0{)}^m}$其中 $g(z)$ 在 $z_0$ 的邻域内解析，且 $g(z_0)\ne 0$。

(3) 利用极限 $\underset{z\to z_0}{lim}f(z)=\mathrm{\infty }$ 判断。

若洛朗级数中含有无穷多个 $z-z_0$ 的负幂项，那么孤立奇点 $z_0$ 称为 $f(z)$ 的本性奇点。

定理： 设函数 $f(z)$ 在 $0<|z-z_0|<R$ ($0<R\le +\mathrm{\infty }$) 内解析，则 $z_0$ 是 $f(z)$ 的本性奇点的充要条件是：$$\lim_{z \to z_0} f(z) \text{ 不存在且不为 } \infty.$$

如果 $z_0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶极点，则 $z_0$ 就是 $\frac{1}{f(z)}$ 的 $m$ 阶零点。反过来也成立。