交流稳态电路

概念

交流稳态电路
交流电路的电路方程是时间微分方程（动态元件）
正弦稳态电路（单一频率正弦电源激励的线性电路）
时间域转变为向量域
i

时域和相量域:
通过引入复数我们从时域转入相量域

这里要区分三个概念: 峰度,或峰值和幅度,(有效值),而且这里的幅度也和 **振幅(峰值)**不同.
幅度就是方均根(RMS):$$U = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_0}^{T+t_0} u^2(t) \mathrm{d}t}$$ $$I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{t_0}^{T+t_0} i^2(t) \mathrm{d}t}$$
而且在符号和表示上:
若没有特别说明: $I, U$ 就指的是幅度,也就是电流电压的 有效值.
而峰值就是 $U_{m}, I_{m}$ 会加上m

电容阻抗: $Z = \frac{1}{j ω C}$
电感阻抗: $Z = j ω L$
其中 $ω = 2 π f$ ,也就是角频率
而 $j$ 为虚数单位

#task 为什么这里用j而不是用i,感觉像是历史原因 :避免混淆：在电气工程 (Electrical Engineering) 和电子学中，字母 $i$ (或 $I$ ) 已经被广泛用来表示电流 (current)。工程惯例：为了避免将虚数单位 $i$ ( $i^{2} = - 1$ ) 与电流 $i$ 混淆，工程师们（特别是电子工程师）普遍采用 $j$ 来表示虚数单位 [priority:: lowest] [created:: 2025-11-02] [completion:: 2025-11-02]
同时 $j$ 为感抗, $- j$ 为容抗,感觉这里不只是方向问题
#task 为什么会有感抗阻抗,而不简单的写超前和滞后:“抗” (Reactance) 是一个定量的“阻碍”概念，而**“超前/滞后” (Leading/Lagging) 是一个定性的“时序”概念**。我们之所以需要“感抗”和“容抗”这两个词，是因为在工程计算中，我们必须回答一个关键问题：“这种阻碍到底有多大？” [priority:: lowest] [created:: 2025-11-02] [completion:: 2025-11-02]

相量法

正弦信号3要素
方均根
$i (t) = I_{m} \sin (ω t + θ)$
- 其中 $ω = 2 π f$
正弦量的相量表示法
- 使用指数表示： $i (t) = Im e^{j (ω t + θ)} = Im {\dot{I}}_{m} e^{j ω t}$
- $\dot{I_{m}}$ 振幅相量=模长乘相角
两个正弦函数（同频率）叠加
- 转相量域，借由高斯：实部和虚部拿到，反推，振幅和相位
同频率的正弦量才可以在同一相量域中运算。

电路的相量模型

电容元件

$i = C \frac{d U}{d t} $ $ 通过元件特性，得到 i 和 v 之间的关系$
- 相量域上的表达： $\dot{U} = - j X_{c} \dot{I}$ 或者 $\dot{I} = j ω C \cdot \dot{U}$
- $X_{c} = \frac{1}{ω C} = \frac{1}{2 π f C} = \frac{\dot{U}}{\dot{I}}$
- 其中 $X_{c}$ 为容抗，单位是欧姆

电感

也是通过元件特性推导
- 电压电流同频，电压相位超电流90度
- 感抗： $X_{L} = ω L$ ,单位也是欧姆
- 相量域： $Z_{L} = \frac{\dot{U}}{\dot{I}} = j ω L$
电感和电容对比,其系数为阻抗 $Z = \frac{\dot{U}}{\dot{I}}$ ,单位为欧姆
- $\dot{U} = j ω L \cdot \dot{I}$
- $\dot{U} = \frac{1}{j ω C} \dot{I}$
- 和电阻混合时，就通过复数来表示整个阻抗
  - 其中，辐角>0，整个阻抗呈感性，<0,呈容性，=0，呈阻性
- 此时电阻升华为阻抗，用来分析整个电路
- 对应的电导则称为导纳Y

阻抗的计算：

符合串并联KCL和KVL
但是分电压的模之和不等于总电压的模
$\dot{U} = \dot{U_{k}} + \dot{U_{L}} + \dot{U_{C}} = \dot{I} (R + j ω L - j \frac{1}{ω C})$
其中
$(R + j ω L - j \frac{1}{ω C})$
$j$ 的系数合并一下，可得 $R + j X$ 这就是阻抗的一般形态。

电路计算

模，电压和电流的相位关系（电容：I生U，则I超U

相量法分析正弦稳态电路

正弦稳态电路，系数时复数
符号：
大写表示相量模长
小写：元件的时域表示
实际表示： $R + j X$ or $R ∠ θ$
注意：电压电流的相位关系，电感电容，是否时同函数

正弦稳态电路功率

Important

这里里面的UI都是有效值.
电压和电流的向量值的模都是有效值
时域里面$$p(t) = \frac{U_{\text{peak}}I_{\text{peak}}}{2}[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$$

P = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p (t) d t = \frac{U_{peak} I_{peak}}{2} \cos φ

这里也就等价于 $$P=UI\cos \varphi$$
从而延伸到所有公式.

功率再解

有功功率: 正弦稳态电路瞬时功率一周期内的平均值称为平均功率，又称有功功率。 $$P = \overline{p(t)} = \frac{1}{T} \int_0^T p(t) \mathrm{d}t = UI\cos\varphi \quad \text{单位瓦特（W）}$$ 有功功率 $P$ 从平均意义上描述了电路实际消耗电能的速率。 $$P = UI\cos\varphi = I^2|Z|\cos\varphi = I^2 R$$ 有功功率 $P$ 是支路等效电阻消耗的功率，无源电路的有功功率总是一个非负值。

视在功率: 电压、电流有效值乘积称为视在功率，反映了设备的功率容量(无源支路消耗电能的最大速度)，单位为伏安（V·A） $$S = UI$$

功率因数：有功功率与视在功率之比称为功率因数 $$\lambda = \cos\varphi = P/S$$ 其中 $φ = θ_{u} - θ_{i}$ 为功率因数角，对无源支路

复功率: 在相量域中，定义支路的复功率为（单位伏安V·A） $$\tilde{S} = \dot{U} \cdot \dot{I}^* = UI\angle\varphi \quad \tilde{S} = \dot{U} \cdot \dot{I}^* = P + jQ = S\angle\varphi$$ 复功率没有具体的物理意义，仅仅是一个数学工具。

无功功率:定义复功率的虚部为无功功率 $Q$ ，它反映了支路与外电路能量交换的规模，单位乏（Var） $$Q = \text{Im}{\tilde{S}} = UI\sin\varphi \quad Q = UI\sin\varphi = I^2|Z|\sin\varphi = I^2 X$$

对于任意处于正弦稳态的电路系统，有功功率、无功功率和复功率分别守恒： $$P_{\Sigma} = \sum P_k = P_1 + P_2 + P_3 + \cdots$$ $$Q_{\Sigma} = \sum Q_k = Q_1 + Q_2 + Q_3 + \cdots$$ $$\tilde{S}_{\Sigma} = \sum \tilde{S}_k = \tilde{S}1 + \tilde{S}2 + \tilde{S}3 + \cdots$$ 视在功率通常不守恒： $$S{\Sigma} = \sqrt{P{\Sigma}^2 + Q{\Sigma}^2} = \sqrt{\left(\sum P_k\right)^2 + \left(\sum Q_k\right)^2} \neq \sum S_k$$
B4_交流稳态电路_2025-11-02_19-17-41.png

关于功率计算的警告:

Warning

功率的计算可以使用 $I^{2} R 等$ 但是不能使用, $\frac{U^{2}}{R}$ ,可以用电流但是不能使用电压,这是因为,IR等于其分压,但是U/R不等于流过的电流.
所以最好功率的计算还是用 $U I \cos φ$ 等直接使用UI参与的比较好.

瞬时功率: $p (t) = u (t) \cdot i (t)$
平均功率，亦即有功功率: $P = U I \cos φ$ . 这里的UI皆为有效值
无功功率: $Q = Im S = U I \sin φ$
视在功率: $S = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}$
功率因数： $λ = \cos θ = \frac{P}{S}, φ = θ_{u} - θ_{i}$
复功率: $\tilde{S} = \dot{U} \cdot {\dot{I}}^{*} = U I \cos φ + j U I \sin φ$

Warning

功率，电压，电流，阻抗之间的相位关系。
下面是核心题目：
Pasted image 20251111001750.png
有几个关键的要点：

同一支路上的电流的相位是相同的，但是 电压的相位是不相同的：局部电压的相位和总电压的相位也是不同的
局部电压和电流之间的相位也依据元件的：比如电阻的电压和电流的相位是一致的，而电感则是电压 = 电流乘j，表面电压超前
一个好的参考系是非常重要的！！！！！!！！！！！！！
推荐以电流作为参考系
但是若遇到像本题中的，已给定电压作为参考系 千万小心列出各个相位之间的关系，每个元件计算功率时，都会以电流为基准来定电压的相位差。

注
有有功功率，并不等于 ${\dot{U}}_{R} \cdot R, 还包括 i \cdot i 后得到的负值$

功率因数

(P:有功功率，Q：无功功率，S：视在功率)

来源： $P = U I \cos φ$ 其中， $\cos φ$ 为功率因数记为 $λ$
目的：提高总负载端的功率因数
前提：负载多为感性
方法：加电容
- 把把总负载端功率因数修正为0.9 或0.95
- $C = \frac{p}{ω U^{2}} (\tan φ_{1} - \tan φ_{2})$
- #task remeber 🔺 [completion:: 2025-11-18]
- 其中 $\cos φ_{1}$ 为原功率因数， $\cos φ_{2}$ 为目标功率因数
- P，U皆为端口的功率和电压
#task 其中的P和U是什么 [completion:: 2025-10-16]
负载阻抗可改变
- 共轭匹配
- 电抗匹配
- 模匹配

能消容抗阻抗就消,以达到最佳匹配或者电抗匹配.

只能更改负载电阻,那么负载电阻和其他负载的模值一样即可.此时为模匹配.

P_{L} = R_{L} I^{2} = \frac{R_{L} U_{S}^{2}}{(R_{S} + R_{L})^{2} + (R_{X} + R_{L})^{2}}

磁耦合元件

自感和互感
- 同名端
  - 从同名端流入，则另一同名端为正极性
  - 同名端无传递性，只能两两标注
互感：
- 从磁链方程－>时域方程－>相量

\begin{array}{r} {\begin{cases} \dot{U_{1}} = j ω L_{1} \dot{I_{1}} + j ω M_{12} \dot{I_{2}} \\ \dot{U_{2}} = j ω L_{2} \dot{I_{2}} + j ω M_{12} \dot{I_{1}} \end{cases} \end{array}

其中： $M = k \sqrt{L_{1} L_{2}}$

串联

顺串：则和阻抗为 $j ω (L_{1} + L_{2} + 2 M)$
反串：阻抗为： $j ω (L_{1} + L_{2} - 2 M)$

并联

同侧: $L_{e q} = \frac{L_{1} L_{2} - M^{2}}{L_{1} + L_{2} - 2 M}$
异侧： $L_{e q} = \frac{L_{1} L_{2} - M^{2}}{L_{1} + L_{2} + 2 M}$

T抽头

这里是从互感电压推导出来的.
其二：电流从同名端流入，也从同名端流出，对应的受控源电压也是从朝着同名端端方向。

对称三相电源

前提：同一频率，相位不同，但是只有三相

Y：线电流=相电流,
$Δ$ :相电压=线电压

对称三相电压：

三个概念： $U_{总} ， U_{p}, U_{l}$
Y形连结：三个 $U_{A}, U_{A B}, U_{A N}$
功率：$$P_{\sum}=\sqrt{ 3 }U_{L}I_{L}\cos \varphi_{Z}$$
对称：
$P_{p} = U_{p} I_{p} \cos ϕ_{p}$
$I_{l} = \sqrt{3} I_{P}$

对称三相电路的功率稳恒

核心出发点依然是 $P = U I \cos φ$

非正弦周期交流稳态电路

任周期可积
极大极小点有限
信号能量有限

Note

$f (t) = A_{0} + A_{1 m} \sin (ω t + ϕ_{1}) \dots$

$A_{0}$ 恒定分量信号在周期内的平均值
$第一个三角函数式$ 谐波，与原信号频率相同
多次谐波，频率也成多倍

谐波I or U的幅度随频率变化的图：幅度频谱
初相位变化：相位谱
间隔为基频

非正弦周期量的有效值

\begin{array}{r} I = \frac{\sqrt{I_{0}^{2} + I_{1 m}^{2} + \dots /}}{\sqrt{2}} \\ 电 压 同 上 \end{array}

功率

同上
$P_{k m} = \frac{1}{2} U_{k m} I_{k m} \cos ϕ_{k}$

电路频率

网络函数

交流稳态电路

概念

相量法

电路的相量模型

电容元件

电感

阻抗的计算：

电路计算

相量法分析正弦稳态电路

正弦稳态电路功率

功率再解

视在功率: 电压、电流有效值乘积称为视在功率，反映了设备的功率容量(无源支路消耗电能的最大速度)，单位为伏安（V·A） $$S = UI$$

功率因数： 有功功率与视在功率之比称为功率因数 $$\lambda = \cos\varphi = P/S$$ 其中 φ=θu−θi 为功率因数角，对无源支路

功率因数

磁耦合元件

串联

并联

对称三相电源

非正弦周期交流稳态电路

非正弦周期量的有效值

功率

电路频率

功率因数：有功功率与视在功率之比称为功率因数 $$\lambda = \cos\varphi = P/S$$ 其中 $φ = θ_{u} - θ_{i}$ 为功率因数角，对无源支路